Kalded

Katused

Siit võime näha, millised erinevaid nurki ja kaldeid hakkab hoone katusel tekkima. Kaldkatuseid on väga erineva kujuga. Neist levinumad on viil- ja kelpkatused.

Kuna trigonomeetria üheks oluliseks osaks on kalded, siis nii on ka katustega.

Kuna trigonomeetria üheks oluliseks osaks on kalded, siis nii on ka katustega.

Allpool olev joonis kujutab erinevate materjalide puhul lubatavaid katusekaldeid. Näiteks valtsplekist katuste puhul võime graafikul näha, et see võib minimaalselt 5°. See tähendab, et lamekatuste puhul valtsitud plekiga katust kasutada ei tohi, kuna ta ei osutuks siis vettpidavaks konstruktsiooniks.

Selle joonise puhul võime märgata ka teist mõõtu suhtarvudena, ehk 5° kalde puhul on see 1:12. Teame, et liikluses teemärkide juures oleme ka märganud teekallete puhul tähistus, kuid on see on antud protsentides.

Vaatame, kuidas on nende mõõtude omavaheline suhe.

Kraadide puhul moodustab üks täisring 360°. All oleval joonisel võib näha katuse kalde puhul on trigonomeetrilises mõistes üks katuse nurk I veerandis ja teine vastas olev nurk II veerandis.

Veerandite jaotust võib iseloomustada ka alljärgneva joonisega:

Katuse kalde väljendamisel suhtarvuna antakse kõrgusele väärtus 1. Katuse keskkohast ehk katuse harja projektsioonist kuni ääreni tähistatakse pikkust tähisega x. Väärtus x näitab, mitu kõrgust on katuse servani. 

Näiteks, kui x = 2, ehk 2 katuse kõrgust, siis suhtarvuna 1:2 = 0,5. Siit saame, et tan 0,5 = 26,57°≈ 27°

Kui katuse kaldenurk on üle 45°, ehk suhtarv on suurem, kui  tan > 1, siis muutub konstantseks aluse väärtus ja alus on siis väärtusega 1.

Näiteks kalle 1,5 : 1, see tähendab x = 1,5 ja näitab ära mitu aluse pikkust mahub kõrgusesse.

Toome ära kaks lahendusversiooni:

1. Kui katuse kalle määratakse suhtega 1 : x , siis võime kasutada x leidmiseks järgmist lahendust 

      2. Võimalus on see sama ülesanne lahendada ka sellisel moel

                                                    

Katuse kalle on 1 : 3

Kui aga meil vaja teada ühte neist näitajatest, siis saame valemeid teisendada.

Näiteks kõrguse leidmiseks (protsendi puhul) võime teisendada valemi kujule

Kui meil on aluse pikkuseks 1m ehk 100 cm, siis tõusu kõrguseks 1% kalde juures on 1 cm ja 2m aluse pikkuse juures on sama kalde juures tõusu kõrguseks 2cm.    

Kui on aga tegemist promillidega, siis 1 m aluse pikkuse puhul 1 (‰) kallet moodustab kalde kõrgusega 1 mm ja 2 m aluse pikkust moodustab sama kalde kõrgusega 2 mm.

Aluse leidmiseks aga peame teisendama valemi kujule

Tihti võib on olukordi, kus on vaja ehitada samasuguse kaldega katus, ainult teiste mõõtmetega.

Sel juhul on arvutuste tegemisel võimalik kasutada kolmnurkade sarnasuse põhimõtet.

Arvutuskäik võiks olla alljärgneva ristkorrutise kaudu.

Nagu jooniselt näha võib on tuleb kõrguse aluse pikkuse kaudu välja kaldeprotsent (kuni 45°), samas saame sama suhte alusel välja arvutada ka tangesi, mis väljendub nurgana.

Tabeli suhte real 1 : 1 näeb välja kolnurga (kalde) kuju välja nii nagu tabeli kõrvaloleval joonisel , kus näeme võrdhaarset kolnunurka kaldega 45°, mis kaldeprotsendina on 100% ning tangensi väärtus on 1.
Samuti real 1 : 100, kus kalde väärtused on nagu joonisel ja kaldeprotsent on 1% ning tangensi väärtus on 0,01. Sama on ka kalde 1:1000 puhul.

 
Näiteks

Kui me teame tangensi väärtust, siis suhtena on võimalik kujutada kallet nii
Olgu tan 0,5 = 26° 33’ 54,18’’
Siin on tan 0,5 osana tervikust
Tähistades kalde suhtena 1 : x, kus x-i ehk tangensi väärtuseks oleks 0,5
Sel juhul oleks kirjapildis kalde väärtuseks 1 : 2

Suhte väärtuse x-i väärtus näitab mitu osa tervikust ta moodustab, kuna suhte väärtuse aluseks on võetud 1 osa ehk tervik (joonisel l = 1), siis 1 tervikust ehk osast on väärtus

ehk kalde osa moodustab tervikust 1 : 0,5 = 2 või vastupidi ühks tevik moodustab 2 sellist lõiguosa, nagu on näidatud joonisel, kus on kladed mõõtudena tervikust.

Nagu eespool juba mainisime, et kui kõrguse (joonisel h) väärtus on suurem (ehk tan > 1), kui aluse (joonisel l) väärtus, siis otsitav väärtus x on eespool osa väärtusest ja tähistatakse kalde suhet x : 1.
Näiteks, kui tangensi väärtuseks oleks 2, siis kirjapildis on kalde väärtuseks  2 : 1

Kanalisatsioonitrasside juures on samuti tegemist kalletega, kuid see on promillides.
All olev joonis on profiil ehk trassi ristlõige, mida kasutataks ehitusprojektides kanalisatsioonikalletes. Nagu jooniselt näha võib on kaevudevaheline vahemaa (tsentrist tsentrini) 34500 mm ja kaevupõhjade kõrguste vahe 300 mm.

Koostame antud andmete põhjal ühe näidis ülesande. Leiame näiteks kanalisatsioonitrassi kalde suhtena ja protsentides.
Kanalisatsioonitrassi kalde leidmiseks skitseerime kolmnurga, kus h on kõrguste vahe ja kaevude vahemaa l.

Kui h = 300 mm ja I = 34500, siis ristkorrutisega võime leida trassi kalde kõigepealt suhtena

Kui nüüd asenda kalde otsitav x numbriga siis saame trassi kaldeks 1 : 115.

Samasugust ristkorrutist saame kasutada, kui meil on teada kalle (1 : 115) ja tahame leida näite trassi kaevude kõrguste vahet h, mis peame teadma kõigepealt, kui meil on teada, mis kaldega trassi me saame või tahame ehitada.

Samuti saame leida selle sama ristkorrutise kaudu trassi pikkuse l.
Trassi kalle aga protsentides on

                                           1:115 x 100 ≈ 0,87 %

Vastupidiselt, protsendi kaudu kalde suhte leidmine toimuks nii:    

mis vastaks suhtarvule 1 : 115.

Kalde kraadides leidmiseks tuleb meil kasutada tangensit

 1) variant tan = h/l   
 2) variant kalde suhe 1 : x

tan = 300 : 34500 ≈ 0,0087 või kalde suhte kaudu, mis on sisuliselt sama 1 : 115 ≈ 0,0087

tan 0,0087= 0,41011655° ehk 0°24’36,42”

Alljärgneva pildil on seesama maa-alune trass kujutatud trassi süvendis ehk enne pinnasega katmist.

Pindalaarvutused

Ehitamise üks lahutamatu osa on mahuarvutused. See on vajalik nii materjalide tellimiseks, kui ka tellijatele ehk klientide hinnapakkumise tegemiseks.

Näiteks ehitusjoonistel, on katuse mõõtude juures vahel ainult välja toodud katuse kaldenurk ja kõrgus 0 tasapinnast ehk kõrgus esimese korruse põranda pealmisest pinnast (kuna põrand võib koosneda mitmetest kihtides). Selleks, et välja arvutada katuse pindala materjali tellimiseks peame teadma vähemalt ühe katuse poole pikkust ja laiust (joonisel on need 12 000 mm ja 6034 mm). Kuid, kui me teame ainult kaldenurka, siis tuleb meil võtta joonis hoone lõikest (nagu all oleval joonisel) ning välja arvutada hoone laiusele tuginedes, katuse mõõdud.
Lisan veel ühe näite katuse kalde arvutamiseks.

Kuid neid mõõte läheb meil vaja mitte ainult katusekattematerjalide arvutamiseks, vaid ka katuse konstruktsioonide, näiteks sarikapikkuste välja arvutmiseks. Otsaseinte kolmnurksete osade (ehk otsaviilude) väljaarvutamiseks.

Näide

Kui hoone pool laiust on 4860 mm, siis 35° katuse kalde puhul on katuse kõrguseks

tan 35° x 4860 mm = 3403 mm

Teades nüüd katuse kõrgust, teame ka vajamineva sarika pikkust.

Aga, et teada sarikate ühenduste nurki, saame kasutada oma põhikooli teadmisi valdkonnas, ehk millised nurgad tekivad kahe paralleelse sirge lõikamisel kolmanda sirgega. 

Kus võib näha lähisnurki (paralleelsete sirget puhul on nende summa 180°) ja paari võrdseid kaasnurki (125° ja 35°+90°), mis on samuti üks tunnus paralleelsete sirgete lõikumisel kolmanda sirgega.

Keeruliste pindalade puhul jagatakse pindala osadeks

Nagu joonisel näha võib on pindalade mõõtmiste lihtsustamiseks mitmeid meetodeid. Mõned on ära toodu üleval, kus pinnad tehakse väiksemateks osadeks ja need siis kas liidetakse või lahutatakse omavahel.

Pindade kattuvus

Ei ole arvad juhused, kus konstruktsiooni ehitades on detaili mõõdud erinevad sellest, mis suurused nad moodustavad koos olles. Üheks näiteks võib tuua voodri- ja põrandalauad.
All olev joonis kujutab endast näidet põrandalaudadest kus näeme, et väljaulatuva soone tõttu on laua laius suurem, kui nad koos olles tegelikult põranda pinda katavad. Mõõtude järgi võime veenduda, et väljaulatuva soonega on laua laiuseks 111 mm, tegelikult aga järgneva laua soone sisse minnes, katab see konkreetne põrandalaud pinda ainult 100 mm laiuses.

Seepärast tihti ka puittoodete müüjad märgivad ära materjali tegeliku kattuvuse.

Näide

Ruumi mõõdud on 6,27 m x 4,37 m. Kui palju me peame ostma 100 mm kattuvusega ja 4 m pikkuseid põrandalaudu, et katta ära põrandapind?

Arvutame kõigepealt põranda pinna:

6,27 m x 4,37 m = 27,40 m2

Järgnevalt arvutame 1 põrandalaua katva pinna:

4,00 m x 0,1 m = 0,40 m2

Seejärel leiame, kui palju laudu me peame ostma, et katta ära eeltoodud põrandapind:

27,40 m2 : 0,40 m2 = 68,5 ≈ 69 tk. põrandalaudu

Samas on üks oluline detail puitpõrandate juures ja see on põrandaliist. Ja selle sama põranda koguse arvutamiseks on meil mõistlik leida põranda ümbermõõt ja sellest tuletada liistude kogus. Põranda liistu ülesandeks on katta ääre pealsed naelpead ja tihti ei ole võimalik viimast põrandalauad täpselt vastu seina panna ja peab jääma umbes 1-2 cm vahe, mis kaetakse põrandaliistuga, nagu allpool oleval joonisel.

Näide
Põrandaliistu kogust on mõttekas arvutada jooksva meetri kaudu, kuna nad kinnitatakse toaseinte külge, mis moodustavad perimeetri ümber toa.
Arvutame näiteks, kui palju me peame ostma põrandaliiste, kui ühe põrandaliistu pikkus on 2,5 m.

Leiame kõigepealt toaümbermõõdu:

(6,27 m + 4,37 m) x 2 =  21,28 jm

NB!
jm – tähendab jooksvaid meetreid ning on ehituses pikkuse mõõduna kasutusel tihti. Võrdub 1m pikkusega SI ühikutes.

Nüüd saame arvutada põrandaliistude koguse:

NB! 21,28 jm : 2,5 jm = 8,51 ≈ 9 tk. põrandaliistu

Kui me aga ei tea 1 põrandaliistu pikkust (neid müüakse erinevates pikkustes), siis võib meie põrandaliistu koguseks jääda lihtsalt 21,28 jm meetrit põrandaliistu.

Geodeesia ja kõrguste mõõtmine
 
Geodeesia tegeleb Maa pinnaosade ja kuju mõõtmisega ning hõlmab endas suurt valdkonda maamõõdistamisest kuni ehitiste mõõdistamiseni välja.
Kõige lihtsam, ehk madalama klassiga geodeesiat kasutatakse üldehituses (sest vahemaad ei ole suured). Teedeehituses ja maa-alade mõõdistamisel on lähevad täpsused ja ühtlasi kasutatavad seadmed oluliselt keerulisemaks, kuna suurte vahemaade puhul muutvad ka vead suuremaks (allpool on sellekohane näide) ja kõrguste ning nurkade ülekandmiseks tuleb kaugustest tingituna paigutada vahepeal mitmeid ajutisi kõrgusi (ajutisi reepereid), millest teostakse järgnevadi mõõtmisetappe.
Selles lõigus aga tutvustame natuke ehitusgeodeesiat, mis on lihtne ja lahendatav põhikooli matemaatika tasemel.
Teatavasti veel on omadus võtta alati horisontaalne asend ehk ehitajate keeles on see horisontaalselt loodis.
Selleks näiteks koguni kasutati varasematel aegadel pikka voolikut, mille mõlemas otsas olid klaastorud, mis võimaldasid jälgida veetaset (ehk ühendatud anumate põhimõte).
Ka tänapäeval kasutatakse vahel ikka veel ka vanemat tüüpi vesiloodi, nagu võime näha all oleval pildil, kuid on juba palju ka teisi mõõteriistu täpse horisontaalsuse ja vertikaalsuse saavutamiseks.

Ka seda allpool asuvat tööriista nimetatakse vesiloodiks, mis on oluline abivahend ehituses. Kuid antud vahendi klaastorus ei ole enam vesi, vaid muud vedelikud, mis asendavad nüüd vett.

Kui vedelikus liikuv mull on klaastou keskmises osas, siis näitab see ära, kas latt on horisontaalses või vertikaalses asendis (ümar aken vertikaalseks mõõtmiseks).
Kui aga tekib vajadus suuremate vahemaade horisontaalseks mõõdistamiseks, siis on selleks ehitajate jaoks väga levinud tööriist – nivelliir. Antud töövahend on sisuliselt optiline pikksilm, kus läbi optiliste läätsede suurendatakse mõõdulatil olevat numbrilaua näite, et lugeda mõõte pika vahemaa tagant.
Viimastel aegadel aga on tulnud kasutusse ka laserkiirega nivelliirid, mis võimaldab seadmega üksi toime tulla ehk mõõta. Täpsemalt öeldes, võimaldab teostada mõõdistusi ühel inimesel. Optilise mõõdiku puhul peab alati keegi teine hoidma mõõdupunktis latti, millel on peal mõõdustik, nagu allpool oleval pildil. Mõõtude täpseks lugemiseks on optikasse paigaldatud niitrist.

Loodetavasti võib aru saada, et numbrite vahemik on 10 cm ja iga ühiku vahemik on 1 cm. Antud näite puhul oleks lati loend 1602 mm, ehk 1,602 meetrit mõõtelati alumisest otspunktist nivelliiri horisontaalse kiireni. Nagu näha võimaldab see mõõta maapinda ja nende kõrguste erinevusi üsna suure täpsusega – millimeetri täpsusega. Sellisel moel on võimalik mõõta maapinna kõrgusi ja panna paika hoone osade kõrgused looduses.
Teatavasti kaartide ja koos sellega ehitusjooniste alusplaanidel antud kõrgused merepinnast, mille kõrguse nullpunkt asub meie kartograafia süsteemis Kroonlinnas (Venemaal) ehk seal on mõõdetud teatud veetase, mis on kõrgusega ära märgistatud ning seega etalon kõrguspunktiks (nullpunktiks) kõigi teiste kõrguste suhtes. See on tekkinud ajaloolistest oludest tingituna.
Kroonlinna null on veemõõdulati nullpunkt, mille määras ja märkis 1840. aastal Läänemere pikaajalise mõõdistamise keskmisena Mihhail von Reineke.
Seda tähistav rõhtjoon asub Kroonlinna Obvodnõi kanali kivisilla tugisambal ja tähistab eeltoodud rõhtjoone kõrgust veetasapinnast ehk nullpunktist, nagu all oleval pildil näha võib.

Allikas: http://stengazeta.net/wp-content/uploads/10005290-siniy-most_.JPG

Tihti kasutatakse seda kõrgust tähistavat Kroonlinna nulli mõistet ilmateates või uudistes siis, kui meil räägitakse üleujutustest või  selle ohust.
Ehituses aga kasutatakse niveliiri kõrguse mõõdistamisel alljärgneval moel, nagu joonisel.

Eesti on kohe üle minemas oma kartograafia süsteemiga Amsterdami nullpunkti süsteemi arvestusele. See on kõrgusmõõtmiste võrgustik, mille täpsus on ± 0,2 mm ühe kilomeetri kohta.
Ehitusvaldkonnas kasutatakse kõrguste mõõtmisel enamasti nivelliire, kui maapinna kaardistamisel ning suuremate maa-alade mõõtmisel kasutatakse siiski tahhomeetrit või täppis GPS-i, kuna see võimaldab mõõta mitte ainult kõrgusi, vaid ka nurki.
Toon ühe lihtsa näite ülalpool oleva joonise baasil nivelliiriga mõõdistuse kohta ehitusplatsil. Nimelt on skeemil toodud ajutise reeperi kõrgus merepinnast märgitud looduslikele alusplaanidele, mille ehitaja võtab aluseks hoone ehitamisel.

Näide

Antud näite puhul on geodeedi poolt eelnevalt mõõdistatud olemasoleva hoone vundamendi kõrguseks 0,819 m (ajutiseks reeperiks) merepinnast. See võetaks aluseks kui hakatakse loodusesse märkima ehitava maja vundamenti, mille kõrgus on arhitekt oma projektis ära märkinud.
Kuna ehitusel endal on nullpunktiks esimese korruse põranda pealmine pind. Kõik kõrgused, mis jääb ülespoole seda tähistakse (+) märgiga ja mis jääb allapoole (näiteks keldripõrand) tähistatakse (–) märgiga.

Toodud joonisel näeme, et projekteeritud Abihoone kõrguseks (0 kõrguseks, mis on esimese korruse põranda pealmine pind) asendiplaanil 1,06 m meetrit merepinnast. Hoone nurkades on antud maapinna kõrgused. Ülemine 0,56 m ütleb, millisele kõrgusele peab maapind jääma hoone ümber, joonealused numbrid näitavad, millised on maapinna kõrgused hetkeseisuga looduses.
Kui nüüd teeme väikesed arvutused, siis

1,06 – 0,56 = 0,50 m

Mis ütleb meile, et maapind peab jääma esimese korruse põrandapinnast allapoole 50 cm.
Kui nüüd aga vaatame, mis peaks olema nivelliiri mõõdulati näit, kui me hakkame abihoone vundamenti loodusesse märkima.
Kui võtame aluseks situatsiooni nagu on toodud üleval pool asuval joonisel, siis näeme, et nivelliiri horisontaalse kiire kõrgus ajutisest reeperist on 551 mm, mis tähendab, et merepinnast peaks nivelliiri horisontaalse kiire kõrgus antud hetkel olema

819+ 551 = 1370 mm

kui me natukenegi nivelliiri oma asukohast liigutame on see näit hoopis teine.
Järgmine küsimus on see, et kui palju peaks jääma nivelliiri lati aluspunkt allapoole nivelliiri horisontaalsest kiirest, et ta vastaks kõrgusele merepinna 1,06 m.
Teame, nivelliiri horisontaalne kiir merepinnast asub hetkeseisul 1370 mm kõrgusel, millest tulenevalt arvutus oleks siis järgmine.

1370 – 1060 = 310 mm

Mis tähendab, et latilt peaksime lugema näidu 0310, nagu ülal oleval joonisel.
Kuigi ehitusmõõdistamiseks on olemas juba päris head laseriistad, eelistatakse pikemaid vahemaid maamõõtmisel täpsuse huvides mõõta ikka veel optiliste mõõtmisseadmetega, kuna laseri täpp muutub kaugemale minnes järjest suuremaks (hakkab hajuma). Sellest tulenevalt muutuvad mõõtmised ka ebatäpsemaks.
Matemaatiliselt saab seda viga vaadata tekkiva nurgana, kuna kiir (visiir-erialases keeles), mis seadmest välja suundub on sirge.

Vea arvutus

Kui me näiteks teame nurka, kui suur eksimus võiks olla, siis tangensi kaudu võime võrrelda, kui suur on x1 ja x2 väärtus.

Näide

Toome justkui väikese veasuurusega nurga arvutuse. Kui tahame vea suurust millimeetrites, siis teisendame kõigepealt pikkuse ja saame 40 000 mm. Kui võtta vea suuruseks ainult 0,1°, siis lõik

x1 = tan 0,1° x 40 000 = 69,8 mm on juba väga suur mõõdaminek,

x2 = tan 0,1° x 100 000 = 174,5 mm, mis on suurusjärgult üle kahe korra suurem.

1m meetri kaugusel oleks sama nurga juures see viga ainult 1,7 millimeetrit.

Seepärast tehakse maamõõdistamisel, kus on suured vahemaad ka pidevalt veaparandusi, et ei juhtuks nii, nagu alloleval pildil.

Kahjuks ei tea enam pildi autorit, kuna see pilt on aastaid tagasi internetiavarustest leitud.